Znajdziemy przybliżone pierwiastki równania \( x^4+x^3-x^2-2x-2=0 \).

Rozwiązanie

Najpierw sprawdzimy, czy nie znajdziemy rozwiązania pośród podzielników wyrazu wolnego. Zbiór podzielników \( P=\{1,2,-1,-2\} \). Oznaczając przez \( f(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2 \)
mamy
\( f(1)=-3, \)
\( f(2)=14, \)
\( f(-1)=-1, \)
\( f(-2)=6. \)

Żaden z podzielników nie jest poszukiwanym rozwiązaniem. Zauważamy jednak, że wartości funkcji w obliczonych punktach maja, różne znaki. Zastosujemy wniosek z własności Darboux do przedziału \( [1, 2] \). Funkcja \( f \) jest ciągła na tym przedziale jako wielomian  \( f(1)=-3\textrm{ i }f(2)=14\textrm{ czyli }f(1) \cdot f(2)<0 \), więc na podstawie wniosku z własności Darboux w przedziale otwartym \( (1, 2) \) istnieje taki punkt \( \xi_1 \) że \( f(\xi_1)=0 \). Zatem równanie \( x^4+x^3-x^2-2x-2 \) ma w przedziale \( (1, 2) \)  co najmniej jeden pierwiastek. Możemy wyznaczyć ten pierwiastek z większą dokładnością. Obliczymy wartość funkcji w punkcie \( {3\over 2} \), czyli w środku przedziału \( f\left({3\over 2}\right)={{19}\over {16}}>0 \) .

Rozważając teraz przedział \( \left[1,{3\over 2}\right] \) zauważamy podobnie jak poprzednio, że funkcja \( f \) jest ciągła na tym przedziale oraz że \( f(1)=-3\textrm{ i }f\left({3\over 2}\right)={{19}\over {16}} \). Jest więc \( f(1)\cdot f\left({3\over 2}\right)<0 \), a zatem równanie \( x^4+x^3-x^2-2x-2 \) ma pierwiastek w przedziale otwartym \( (1,{3\over 2}) \). Postępując dalej w ten sposób, możemy wyznaczyć przybliżony pierwiastek z dowolną dokładnością.

Nie jest to jedyne rozwiązanie równania \( x^4+x^3-x^2-2x-2 \). Rozważając funkcję \( f \) na przedziale \( [-2,-1] \) mamy: \( f(-2)=6\textrm{ i }f(-1)=-1\textrm{ czyli }f(-2)\cdot f(-1)<0 \). Funkcja \( f \) jest ciągła na tym przedziale, więc na podstawie wniosku z własności Darboux w przedziale otwartym \( (-2, -1) \) istnieje taki \( \xi_2\textrm{ że }f(\xi_2)=0 \). Równanie \( x^4+x^3-x^2-2x-2 \) ma więc w tym przedziale co najmniej jeden pierwiastek. Zauważmy, że pierwiastki \( \xi_1\textrm{) i }\xi_2 \) są różne, gdyż przedziały \( (-2, -1)\textrm{ i }(1,{3\over 2}) \) nie maja punktów wspólnych. Czyli równanie ma co najmniej dwa różne pierwiastki.

Pokażemy, że równanie \( 2^x=4x \) ma dwa rozwiązania.

Zauważmy, że jednym z nich jest liczba \( 4\textrm{, bo }2^4=16=4\cdot 4 \).
Pokażemy, że równanie to ma jeszcze inny pierwiastek pomiędzy zerem a jedynką.
Tworzymy funkcję \( f(x)=2^x-4x \) , której miejsca zerowe są pierwiastkami rozwiązywanego równania. Funkcja \( f \) jest ciągła w przedziale \( [0,1]\textrm{ i }f(0)=1\textrm{ i }f(1)=-2 \), czyli \( f(0)\cdot f(1)<0 \). Na podstawie wniosku z własności Darboux w przedziale otwartym \( (0,1) \), istnieje taki punkt \( \xi\textrm{ , że }f(\xi)=0 \). Zatem równanie \( 2^x=4x \) ma w przedziale \( (0,1) \) co najmniej jeden pierwiastek w sposób oczywisty różny od \( 4 \).

Zastanowimy się, czy można tak dobrać liczbę \( a \), aby funkcja

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x+2 & \textrm{dla x}\leqslant \textrm{a}\\ x^2 & \textrm{dla x} > \textrm{a}\end{array}\right. \)
była ciągła.

Dziedziną funkcji \( f \) jest cały zbiór liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \). Aby \( f \) była ciągła, musi być ona ciągła w każdym punkcie \( x_0 \) swojej dziedziny. Dla każdego punktu \( x_0 < a \) funkcja \( f \) jest ciągła w \( x_0 \) jako funkcja elementarna (liniowa). Podobnie dla każdego punktu \( x_0 > a \) \( f \) jest ciągła w \( x_0 \) jako funkcja elementarna (kwadratowa). Pozostaje problem ciągłości w punkcie \( x_0=a \). Możemy rozwiązać go klasycznie dobierając \( a \) tak, aby istniała granica funkcji w punkcie \( x_0=a \) oraz by ta granica \( \lim\limits_{x\to a}f(x) \) równała się wartości funkcji \( f(a) \).

Możemy jednak postąpić inaczej. Zauważamy, że dziedzina funkcji jest przedziałem, a z własności Darboux wiemy, że wykres funkcji ciągłej w przedziale nie może się przerwać. Narysujemy pomocniczo dwa wykresy funkcji liniowej i kwadratowej i tak dobierzemy \( a \), aby je scalić w jedną linię, którą można naszkicować bez odrywania ołówka od papieru.

Na Rys. 1 widzimy, że wykresy przecinają się w dwóch punktach \( (-2, 4)\textrm{ oraz }(1,1) \) . Liczbę \( a \) można, więc dobrać na dwa sposoby kładąc \( a=-2\textrm{ lub }a=1 \).

Mamy wówczas:
\( f_1(x)=\left\{ \begin{array}{ll}-x+2 & \textrm{dla x}\leqslant \textrm{-2}\\ x^2 & \textrm{dla x} > \textrm{-2}\end{array}\right. \)
lub
\( f_2(x)=\left\{ \begin{array}{ll}-x+2 & \textrm{dla x}\leqslant \textrm{1}\\ x^2 & \textrm{dla x} >\textrm{1}\end{array} \right. \)